Bouteille de plongée sous pression
Étude du dimensionnement d'une bouteille de plongée sous pression par éléments finis axisymétriques FEniCSx.
Validation numérique d'une bouteille de plongée sous pression par comparaison des solutions de Lamé avec un modèle éléments finis axisymétrique FEniCSx
I) Partie théorique
1) Contexte et problématique
L'objet de cette étude est le dimensionnement par simulation numérique d'une bouteille de plongée constituée de l'assemblage d'un tube creux de hauteur 2H = 40 cm avec deux demi-sphères aux extrémités, l'ensemble présentant un rayon intérieur R_i = 10 cm et un rayon extérieur R_e = 11 cm, en alliage acier/aluminium/chrome (E = 210 GPa, ν = 0,3), soumis à une pression interne de 200 bar (20 MPa). La question centrale est la détermination du déplacement radial maximal et la comparaison des champs de contrainte obtenus par simulation éléments finis avec les solutions analytiques de Lamé pour les géométries sphérique et cylindrique.
2) Approche analytique
Les solutions de Lamé (Lamé, 1852) pour une coque épaisse sous pression interne fournissent les expressions du déplacement radial et des contraintes dans chaque partie de la bouteille. Pour la partie sphérique, le déplacement radial s'écrit U_r^sph(r) = A(1-2ν)r/E + B(1+ν)/(Er^2) avec A = pR_i^3/(R_e^3-R_i^3) et B = pR_i^3R_e^3/[2(R_e^3-R_i^3)], et les contraintes sont données par σ_rr^sph(r) = A(1-R_e^3/r^3) et σ_θθ^sph(r) = A(1+R_e^3/(2r^3)). Pour la partie cylindrique en formulation axisymétrique, on a U_r^cyl(r) = C(1-2ν)r/E + D(1+ν)/(Er) avec C = pR_i^2/(R_e^2-R_i^2) et D = pR_i^2R_e^2/(R_e^2-R_i^2), et les contraintes σ_rr^cyl(r) = C(1-R_e^2/r^2), σ_θθ^cyl(r) = C(1+R_e^2/r^2) et σ_zz^cyl = C. La contrainte équivalente de Von Mises est ensuite calculée à partir de ces composantes pour chaque géométrie.
II) Partie numérique (FEM)
1) Méthode numérique employée
Un modèle éléments finis axisymétrique est construit dans l'environnement FEniCSx en utilisant un maillage quadrangles Q2 de la section méridienne de la bouteille, généré avec Gmsh (algorithme Frontal-Delaunay avec recombinaison). La formulation variationnelle intègre le facteur 2π r pour tenir compte de l'axisymétrie, et le tenseur des déformations inclut la composante circonférentielle ε_θθ = u_r/r. Les conditions limites imposent u_z = 0 sur le plan de symétrie équatorial (z=0) et u_r = 0 sur l'axe de révolution (r=0). La pression interne est appliquée sur toutes les surfaces internes sous forme d'un effort nodal équivalent.
2) Résultats numériques
La simulation donne un déplacement total maximal de 0,0947 mm, situé au niveau de la paroi interne de la partie cylindrique. La contrainte de Von Mises maximale atteint 194,57 MPa, également dans la partie cylindrique à la paroi interne. Les champs de déplacement et de contrainte sont exportés sous forme de visualisations PyVista montrant la distribution spatiale des grandeurs mécaniques.
💡 Reproduire cette simulation
Cette étude est entièrement reproductible dans FEneC, un environnement de calcul en Python dédié à l'analyse et à la simulation par la méthode des éléments finis. Les notebooks complets sont inclus.
III) Comparaison analytique — numérique
Les valeurs numériques sont confrontées aux solutions analytiques de Lamé : pour la partie cylindrique, le déplacement radial théorique à la paroi interne vaut 0,0895 mm et la contrainte tangentielle 210,48 MPa, tandis que pour la partie sphérique, le déplacement théorique à la paroi interne est de 0,0364 mm et la contrainte tangentielle de 100,63 MPa. La contrainte de Von Mises analytique maximale dans le cylindre (199,60 MPa) surestime légèrement la valeur numérique (194,57 MPa), ce qui s'explique par la transition progressive entre les géométries cylindrique et sphérique dans le modèle EF, contrairement à la solution analytique qui traite chaque partie séparément. L'erreur relative sur le déplacement reste inférieure à 6 %, validant ainsi la pertinence du modèle.
IV) Dimensionnement
1) Pression maximale admissible
En exploitant le modèle FEM validé, on détermine la pression interne maximale p_ que peut supporter la bouteille avant plasticification selon le critère de Von Mises avec une contrainte seuil σ_0 = 700 MPa (valeur typique pour un acier à haute limite élastique). Un balayage paramétrique de 200 à 800 bar par pas de 100 bar permet de tracer l'évolution de la contrainte de Von Mises maximale en fonction de la pression. Par interpolation linéaire, on obtient p_^FEM = 719,5 bar, tandis que la solution analytique de Lamé pour le cylindre seul donne p_^analytique = 701,4 bar, soit un écart de +2,6%. La valeur FEM est légèrement supérieure car la présence des calottes sphériques abaisse la contrainte maximale dans le modèle complet.
2) Épaisseur minimale de paroi
Pour une pression de service de 200 bar, on cherche le rayon externe minimal R_e, (et donc l'épaisseur minimale) évitant toute plasticification. La solution analytique de Lamé pour le cylindre, qui gouverne le dimensionnement (contrainte de Von Mises plus élevée que dans la sphère), donne R_e, = 10,26 cm, soit une épaisseur minimale de seulement 0,26 cm. Avec la géométrie actuelle (R_e = 11 cm, épaisseur 1 cm), la contrainte de Von Mises maximale n'est que de 194,57 MPa, soit un coefficient de sécurité de 3,6 par rapport à la limite σ_0 = 700 MPa. Ces résultats confirment que le dimensionnement existant est très largement satisfaisant pour l'application considérée.
Notebook Bouteille sous pression
Notebook Jupyter complet avec code source pour modéliser une bouteille de plongée sous pression (simulation FEM FEniCSx axisymétrique).
Conclusion orientée validation
Cette étude valide la capacité du modèle éléments finis axisymétrique FEniCSx à reproduire les solutions de Lamé pour une bouteille sous pression, avec une précision satisfaisante pour une application au dimensionnement. La différence observée entre les contraintes numériques et analytiques provient essentiellement de l'effet de bord à la jonction cylindre-sphère, où la solution analytique discontinue ne peut capturer le champ de contrainte continu calculé par EF. L'étude de dimensionnement complémentaire a montré que la pression maximale admissible est de 719,5 bar (soit 3,6 fois la pression de service) et que l'épaisseur minimale requise n'est que de 0,26 cm, démontrant une marge de sécurité confortable. Le modèle FEM constitue ainsi un outil fiable pour le dimensionnement de réservoirs sous pression, permettant d'explorer des géométries et des chargements variés sans recourir à des solutions analytiques restrictives.
